Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale

1. Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale

   11. Sistemul de axe ortogonale

       Fie planul P.
       În acest plan consideram două axe perpendiculare (sau semai spune ortogonale) notate cu OX și OY .
       Pe cele 2 axe avem aceeași unitate de măsură.
       Mulțimea formata din cele 2 axe se va numi sistemul de axe ortogonale al planului P.
       El se notează astfel OXY. 
   
   

   12. Reprezentarea punctelor din planul P cu ajutorul sistemului de axe ortogonale, aflarea coordonatelor carteziene ale unui punct dat

       Fie planul P.
       În planul P desenăm sistemul de axe ortogonale OXY.
       
       Fie punctul A în planul P.
       Prin A ducem punctat o paralelă la OY. Ea intersectează (taie) axa OX în B(x).
       Tot prin A ducem punctat o paralelă la OX. Ea intersectează axa OY în C(y).
       Numerele x și y se numesc coordonatele carteziene ale punctului A și se pun într-o paranteză lângă A, pe desen.
       x = abscisa lui A
       y = ordonata lui A
       x și y coordonatele carteziene ale lui A 
       
       În loc de B(x) , pe desen se pote pune doar x.
       În loc de C(y) se poate pune doar y. 
   
   

   13. Exemple cu aflarea coordonatelor unor puncte din planul P

       
       
       
       În desenul de mai sus ,ducând paralele la OX și la OY prin punctele D,E,F,G,H,I,
       aflăm coordonatele fiecărui punct.
       Astfel:
       punctul D are coordonatele 1 și 2, 1 pe OX și 2 pe OY.
       D(1,2) = „ D de coordonate 1 și 2 ”.
       Punctul E are coordonatele 1 și 4. E(1,4).
       Punctul G are abscisa 2 (pe OX) și ordonata 4 (pe OY). G(2,4).
       Punctul I are abscisa 3 pe OX și ordonata 4 (pe OY) . I(3,4).
       
   
   

   14. Reprezentarea grafică sau desenul punctului A(x,y), cu x și y numere cunoscute

       Fie siestemul de axe ortogonale în planul P.
       Fie punctul A(x,y).
       Pentru a desena punctul A :
       1) desenăm pe OX punctul B(x) și ducem prin B o paralelă punctată la OY .
       2) desenăm pe OY punctul C(y) și ducem prin C o paralelă punctată la OX.
       3) Punctul cerut A este la intersecția dreptelor punctate desenate mai sus.
       
       Exemplu
       Desenați punctele D(1,2),E(1,4),F(2,2),G(2,4), H(3,2),I(3,4).
       Rezolvare 



2. Definiția produsului cartezian a două mulțimi

   21. Definiție

       Fie mulțimile A și B , nevide.
       Produsul cartezian al mulțimilor A și B , în această ordine, este mulțimea tuturor perechilor (x,y) cu x din A și y din B.
       Matematic el este AxB = { (x,y) / x ∈ A și y ∈ B } .
   
   

   22. Observație

       Produsul cartezian se notează cu semnul x și nu cu · .
       Produsul cartezian nu este comutativ , adică AxB nu este egal cu BxA, pentru orice A și B.
   
   

   23. Exemplu Produsul cartezian a două mulțimi (discrete) date

       A={1,2,3}, B= { 2,4}
       AxB = ? = { (1,2),(1,4),(2,2),(2,4), (3,2), (3,4) }
       BxA = ? = { (2,1),(2,2),(2,3),(4,1),(4,2),(4,3)}
       Se observă că AxB nu este egal cui BxA.
   
   

   24. Produsul cartezian al lui A cu A

       A={1,2,3}
       AxA = A² = {1,2,3}x{1,2,3}= { (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) }



3. Reprezentarea grafică (adică în desen) a produsului cartezian

   31. Exemplu

       A={1,2,3}, B= { 2,4}
       AxB = ? = { (1,2),(1,4),(2,2),(2,4), (3,2), (3,4) }
       Mulțimea AxB are ca desen 6 puncte D(1,2),E(1,4),F(2,2),G(2,4), H(3,2),I(3,4).
       Primul număr din fiecare paranteză este pe axa OX , iar al doilea pe OY , deci:
       1,2,3 din A sunt pe OX și 2,4 din B sunt pe OY.
       
       La intersecția paralelelor prin 1 de pe OX la OY și prin 2 de pe OY la OX se afla A.
       La intersecția paralelelor prin 1 de pe OX la OY și prin 4 de pe OY la OX se afla E.
       etc. 

   32. Desenul produsului cartezian

       AxB = { (1,2),(1,4),(2,2),(2,4), (3,2), (3,4) } are ca desen
       desenul punctelor D(1,2),E(1,4),F(2,2),G(2,4), H(3,2),I(3,4).
       
       
   
   



4. Distanța dintre punctele A și B aflate pe o axă

   Teorie

   41. Fie punctele A(a) și B(b) pe axa OX.
       Distanța de la A la B este lungimea segmentului [AB] și
       este egală cu modulul diferenței coordonatelor punctelor A și B,
       adică AB = | a-b| .
       
       
   
   

   42. Exemple

       A(3),B(6),C(-5) pe axa OX sau XX'.
       
       
       AB= |3-6|=6-3=3 sau AB = 6-3=3.
       BC = |6-(-5)| = |6+5| = 11 sau BC = OB + OC = 6+5=11.
       AC = |3+5| = 8 sau AC = 3 + 5 = 8 .
   
   



5. Distanța dintre punctele A și B din plan

   51. Teorie

       Distanța dintre punctele A(x₁,y₁) și B(x₂,y₂) este lungimea segmentului [AB].
       Pentru a afla această distanță ducem prin A și B paralele la cele două axe .
       ele 4 paralele formează (determină) un dreptunghi ACBD.
       
       
       În triunghiul dreptunghic ADB, cu teorema lui Pitagora avem
       AB² = AC² + CB² = (x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²,
       
       deci AB = √|x₁-x₂|²+|y₁-y₂|² = √(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² .
       Rețineți formula :
       AB = √(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² .