PITAGORA PRINTRE NUMERE PRIME SI DIVIZIBILITATE
Am sa incep povestea mea cu un citat al lui Emerson, in
eseul : “ Despre prietenie” unde acesta spune ca : "
…singura cale ca sa ai un prieten este ca tu insuti sa fii unul " .
Este
foarte greu sa-ti gasesti un prieten dar este si mai greu de crezut ca nu numai
oamenii isi pot gasi prieteni, ci si numerele. De aceea am sa va spun o poveste despre numerele
prietene :
Ca
sa-si asigure protectia unui senior ce-l dusmanea, un cavaler a trimis acestuia
un dar foarte curios fiindca l-a potrivit in asa fel ca sa cuprinda exact 220
de bucati. Anume: saci de grau, de poame uscate, vase de vin, de ulei, oi,
porci si la acestea a adaugat o punga de bani, atatia la numar cat mai era
nevoie ca impreuna cu numarul celorlalte bunuri sa ajunga la 220.
Separat,
intr-o punga de piele, cavalarelul i-a trimis seniorului un medalion pe care
era incrustat numarul 284.
Seniorul
nestiind ce semnificatie sa dea neobisnuitului cadou, s-a dus sa se lamureasca
la cel mai mare matematician de atunci, Pitagora.
Pitagora si-a dat
seama imediat ca aceasta problema poate fi rezolvata cu ajutorul numerelor
prime si a incercat sa-i explice seniorului de unde ar trebui sa inceapa cu
rezolvarea problemei. El a inceput sa explice astfel :
Numim numar prim orice
numar natural mai mare decat 1,care are numai divizori improprii.Numerele prime
sunt:2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31...
Obs.:Singurul nr.prim si par este 2.
Pentru a afla daca un numar este prim sau nu,il descompunem in factori
primi,adica il impartim la toate numerele prime cu care este divizibil.Daca
este divizibil doar cu 1 si cu el insusi,atunci numarul este prim.
Dupa
aceste mici explicatii, Pitagora il ruga pe senior sa imparta cele doua numere
in factori primi.
Atunci
seniorul nota pe hartie :
220
= 2 x 2 x 5 x 11
284
= 2 x 2 x 71
Dar
exista o deosebire intre factorii primi ai unui numar si divizorii lui,
divizorii unui numar nu sunt numai factorii lui primi ci si produsele formate
de acestia.
Daca
reluam calculul adaugand si pe 1 (unu) printre factorii primi se poate constata
ca prin adunarea partilor lui 220 se obtine 284.
2
x 2 = 4
2
x 5 = 10
2
x 11 = 22
5
x 11 = 55
2
x 2 x 5 = 20
2
x 2 x 11 = 44
2
x 5 x 11 = 110
Deci :
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Daca
il luam pe 284 descompus in factori primi obtinem 2 x 2 x 71
2
x 2 = 4
2
x 71 = 142
Deci :
1 + 2 + 71 + 142 = 220
Seniorul
pleca multumit de explicatia data de mare Pitagora si astfel reusi sa inteleaga
mesajul cavalerului.
Raspandindu-se
vorba prin tinut despre intelepciunea lui Pitagora, intr-o dimineata acesta se
trezi cu un nou musafir care incerca sa il puna in incurcatura pe marele
invatat. Astfel Pitagora trebui sa rezolve o noua problema care se pezenta
astfel :
-
Un copil este de doua ori mai varstnic decat sora lui. Ea
are de trei ori mai multe cirese decat are el alune. Daca inmultim numarul ce reprezinta varsta
copilului cu numarul cireselor obtinem 510.
Ce varsta are sora copilului si cate
alune are el ?.
Pitagora se gandi
un pic si isi dadu seama ca are de a face din nou cu numerele prime. Astfel daca descompunem in factori primi
numarul 510, obtinem : 2 x 3 x 5 x 17. Varsta frateleui trebuie sa fie
compusa din doi dintre acesti factori. Cum este dublul varstei sorei, unul din
numere neaparat este 2.
Numarul cireselor
trebuie sa fie un multiplu de 3. Raman doi factori primi : 5 si 17. Dar
varsta fratelui nu poate fi 2 x 17 = 34, pentru ca este inca un copil. Atunci putem spune
ca are 2 x 5 = 10 ani, iar surioara lui are 10 – 5 = 5 ani.
Numarul
cireselor va fi de 3 x 17 = 51, iar cel al alunelor este 17.
Dar Pitagora il provoca
pe musafirul sau sa rezolve si el o problema destul de simpla, iar acesta
accepta. Problema spunea cam asa ceva:
Care sunt nr. prime de 2 cifre,avand produsul cifrelor
6?
Rezolvare:
ab=?,a este numar natural nenul si axb=6
=>a;b sunt divizori ai lui 6
D6={1;2;3;6}
a=1,b=6=>ab=16 si nu este nr.
prim
a=2,b=3=>ab=23 si este prim
a=3,b=2=>ab=32 si nu este prim
a=6,b=1=>ab=61 si este prim
ab={23;61}
Pitagora fu multumit de raspunsul
musafirului sau si ii mai puse acestuia o intrebare tot din domeniul
matematicii. Dar numaidecat isi dadu seama ca nu ia spus acestuia cate ceva
despre divizibilitate pentru a putea
rezolva si aceasta problema. Asa ca incepu sa ii spuna urmatoarele
definitii :
·
Definitia
divizibilitatii:
Spunem ca numarul natural a se divide cu d,daca exista un
nr.c, astfel incat a=dxc
Ex:30 se divide cu nr.5,pentru ca exista un nr.6,astfel
incat
30=5x6.
d/a se
citeste d divide a
d/a
<=> exista c,astfel incat a=dxc,d si a sunt nr.nat.
a:d se
citeste a este divizibil cu d
·
Proprietati
ale divizibilitatii
1) 1/a, a este nr. nat.
2) a/a,a este nr.nat.
3)d/a => d/ab, a,b si d sunt nr.nat.
d/a =>exista
nr.nat.c,a.stfel incat a=dc
ab=dcxb si cb
este nr. nat.=> ab:d
4)d/a si d/b=>d/a+b
Demonstratie:
d/a<=>
exista a' nr.nat.,a.i. a=dxa'
d/b<=>
exista b' nr.nat.,a.i. b=dxb'
a+b=dxa'+dxb'=d(a'+b')
a'+b'=c=>
a+b=dxc <=> d/a+b
Obs:la fel si pentru d/a si d/b =>d/a-b
·
Criterii
de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 2
Un nr. este divizibil cu 2 daca ultima sa cifra este
para.
Ex:nr.2345678 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa
cifra este 8 si este cifra para:
nr.2000 este
divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 0 si este cifra para.
Nr. care sunt divizibile cu 2 se numesc nr.pare.
Criteriul de
divizibilitate cu 5
Un nr. este divizibil cu 5 daca ultima sa cifra este 0
sau 5.
Criteriul de
divizibilitate cu 4
Un nr.este divizibil cu 4,daca nr.format de ultimele sale
2 cifre este divizibil cu 4.
Criteriul de
divizibilitate cu 8
Un nr.este divizibil cu 8,atunci cand nr.format de
ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8.
Criteriul de
divizibilitate cu 25
Un nr.este divizibil cu 25,daca nr. format de ultimele
sale 2 cifre este divizibil cu 25,adica daca ultimele sale 2 cifre
sunt:00;25;50; 75.
Criteriul de
divizibilitate cu 125
Un nr. este divizibil vu 125,daca nr.format de ultimele
sale 3 cifre este divizibil cu 125.
Criteriul de
divizibilitate cu o putere a lui 10
Un nr. este divizibil cu o putere a lui 10,daca ultimele
sale n cifre sunt zerouri.
Criteriul de
divizibilitate cu 3
Un nr.este divizibil cu 3,daca suma cifrelor sale este un
nr.divizibil cu 3.
Criteriul de
divizibilitate cu 9
Un nr.este divizibil cu 9,daca suma cifrelor sale este
divizibila cu 9.
Criteriul de
divizibilitate cu 6
Un nr. este divizibil cu 6,daca este divizibil cu 2 si cu
3.
Criteriul de divizibilitate cu 15
Un nr. este divizibil cu 15,daca este divizibil cu 5 si
cu 3.
Criteriul de
divizibilitate cu 11
Un nr. este divizibil cu 11,daca diferenta dintre suma
cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare
este un nr. divizibil cu 11.
Ex.:1925
9+5=14
1+2=3
14-3=11
11:11=>1925:11
Dar sa aflam problema :
Sa se afle cel mai mic numar
natural de doua cifre,care impartit la
10, 15 si 18 sa dea restul 2.
Rezolvare:
x:10=c1 (r2)
x:15=c2 (r2)
x:18=c3 (r2)
<=>x=10c1+2
x=15c2+2
x=18c3+2
=>x-2=[10;15;18]
<=>x-2=90
<=>x=90+2=92
Nici nu
observara cand trecu timpul asa ca urmatoarea problema rezolvata de musafirul
lui Pitagora arata cam asa :
Determina cel mai mic a,astfel incat nr. 3579a sa fie
divizibil cu 11.
Rezolvare:
a+7+3=a+10.
5+9=14
[14-(10+a)]:11
14-(10+a)=0
<=>10+a=14
<=>a=14-10
<=>a=4
(3+7+4)-(5+9)=14-14=0=>0:11=>35794:11
Pitagora
spuse o alta problema crezand ca isi va pune musafirul in mare incurcatura, dar
acesta o rezolva pe loc astfel:
Care
este numarul divizorilor naturali ai numarului:
p=2x3x5
Rezolvare:
Nr. divizorilor este:
(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24
In timp ce
Pitagora cu musafirul sau se delectau rezolvand probleme, la usa lui Pitagora
aparu un tanar care avea o problema cu mostenirea lasata de tatal sau. La
inceput Pitagora nu a vrut sa il ajute, dar mai tarziu ascultandu-i problema
mai pe indelete se invoi sa ii dea o mana de ajutor. Iata cum se prezenta
problema :
Un
negustor grec avea trei fii. Dupa moartea sa, el lasa mostenire celor trei
copii ai lui 19 camile.Dar el le-a spus copiilor sa le imparta in felul
urmator : fiul cel mare sa ia jumatate din numarul camilelor, cel mijlociu
1/4 din toate camilele, iar cel mai mic 1/5 din numarul lor.
Dupa
moartea tatalui lor, cei trei feciori au incercat sa imparta intre ei camilele
asa cum lasase cu limba de moarte parintele lor. Dar neizbutind sa faca
imparteala, au cerut sfatul invatatului Pitagora. Astfel ca Pitagora se duse
impreuna cu tanarul in grajd si ii dadu acestuia o camila, spunandu-i ca acum daca va merge acasa va putea rezolva
problema mostenirii fara nici o dificultate. Tanarul se duse acasa putin
nedumerit, dar cand ajunse acasa isi dadu seama ca acum avea 20 de camile si
totul se putea rezolva mai usor.
Feciorii
facura urmatoarele impartiri :
20 :
2 = 10
20 :
4 = 5
20 :
5 = 4
10 + 5 + 4 = 19 camile
Dupa impartirea facuta, cei trei feciori au observat ca
au o camila in plus. Bineanteles ca aceasta era camila marelui invatat Pitagora
asa ca se duse toti trei si o duse acestuia inapoi, multumindu-i pentru
ajutorul dat.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu