Ecuatii si inecuatii trigonometric

I. Ecuatii trigonometrice

Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice.

Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul

sinx = a,   cosx = a,   tgx = a,   ctgx = a,   a О R.

(1)

Cum rezolvarea ecuatiilor trigonometrice se reduce la rezolvarea ecuatiilor de tipul (1) (utilizand diferite transformari), vom aminti afirmatiile de baza referitor solutiile ecuatiilor (1).

Afirmatia 1. Ecuatia

sinx = a,     a О R,

(2)

pentru |a| > 1 solutii nu are, iar pentru |a| Ј 1 multimea solutiilor ei se contine in formula

x = (-1)narcsina + pn,     n О Z,

(3)

unde arcsina О [-[(p)/ 2];[(p)/ 2]] este unghiul, sinusul caruia este egal cu a, iar Z desemneaza multimea numerelor intregi, sau, echivalent (tinand seama de paritatea lui n), in totaliatea

x = arcsina + 2pk,     k О Z. x = p - arcsina + 2pk,

(4)

Nota 1. Daca in ecuatia (2) a О {0;-1;1} solutiile ei (3) se scriu mai simplu, si anume

sinx = 0   Ы   x = pn,   n О Z,

sinx = 1   Ы   x = p/2 + 2pn,   n О Z,

sinx = -1   Ы   x = -p/2 + 2pn,   n О Z.

Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile

Rezolvare. a) Cum  conform (3) solutiile ecuatiei date sunt

sau tinand seama ca  se obtine

b) Similar exemplului a) se obtine  sau, tinand seama arcsinus ca functia este o functie impara,

c) Cum  rezulta ca ecuatia data nu are solutii.

Afirmatia 2. Ecuatia

cosx = a

(5)

pentru |a| > 1 nu are solutii, iar pentru |a| Ј 1 multimea solutiilor ei se contine in formula

x = ± arccosa + 2pn,   n О Z,

(6)

unde arccosa О [0;p] este unghiul, cosinusul caruia este egal cu a.

Nota 2. Daca in ecuatia (5) a О {0;1;-1} solutiile ei (6) se scriu mai simplu, si anume

cosx = 0   Ы   x = p/2 + pn,   n О Z,

cosx = 1   Ы   x = 2pn,   n О Z,

cosx = -1   Ы   x = p + 2pn,   n О Z.

Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile:

a) cosx = -¹/₂;     b) cosx = ²/₃;     c) 

Rezolvare. a) Cum  conform (6) solutiile ecuatiei date sunt  sau tinand seama ca  se obtine 

b) Similar exemplului a) se obtine 

c) Cum  ecuatia data nu are solutii.

Afirmatia 3. Ecuatia

tgx = a,   a О R

(7)

are solutiile

x = arctga + pn,   n О Z,

(8)

unde arctga О (-^p/₂;^p/₂) este unghiul, tangenta caruia este egala cu a.

Afirmatia 4. Ecuatia

ctgx = a,   a О R

(9)

are solutiile

x = arcctga + pn,   n О Z,

(10)

unde arcctga О (0;p) este unghiul, cotangenta caruia este egala cu a.

Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile

a) tgx = 1;     b) tgx = -2;     c) ctgx = -1;     d) ctgx = 3.

Rezolvare. a) Conform (8) solutiile ecuatiei date sunt x = arctg1 + pn,   n О Z, sau tinand seama ca  se obtine 

b) Similar exemplului precedent se obtine x = arctg(-2) + pn,   n О Z, sau tinand seama ca arctangenta este o functie impara, x = -arctg2 + pn,   n О Z.

c) Se tine seama de (10) si se obtine

x = arcctg (-1) + pn,   n О Z, sau, cum    

d) Similar exemplului c) se obtine x = arcctg3 + pn,   n О Z.

Observatie. Ecuatiile

sin f(x) = a,     cos f(x) = a,     tg f(x) = a,     ctg f(x) = a

(11)

prin intermediul substitutiei f(x) = t se reduc la rezolvarea ecuatiilor (1).

Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin(2x - 1) = 1;     b) cos(x² + 4) = -1;     c)      d) ctgx³ = -2.

Rezolvare. a)

sin(2x - 1) = 1   Ы   sint = 1, t = 2x - 1,   Ы   2x - 1 = p/2 + 2pn,   n О Z   Ы

Ы   2x = p/2 + 2pn + 1,   n О Z   Ы   x = p/4 + pn + 1/2,   n О Z.

b)

cos(x2 + 4) = -1   Ы   cost = -1, t = x2 + 4,   Ы   x2 + 4 = p + 2pn,   n О Z, p + 2pn і 4,

Ы   x2 = p + 2pn - 4,   n = 1,2,3,...   Ы      n = 1,2,3,...

(se tine seama ca radicalul de ordin par exista doar din valori nenegative).

c)    Ы      Ы   2x = ^p/₃ + pn,   n О Z   Ы     

d) ctgx³ = -2   Ы   x³ = arcctg(-2) + pn,   n О Z   Ы   

Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea

Ecuatia

asin2x + bsinx + c = 0,   a, b, c О R,   a № 0

(12)

prin intermediul substitutiei t = sinx,   (|t| Ј 1) se reduce la ecuatia patrata at² + bt + c = 0.

Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile

a) 2sin²x - 5sinx + 2 = 0;     b) sin²2x - sin2x = 0;     c) sin²x - sinx + 6 = 0.

Rezolvare. a) Se noteaza sinx = t si ecuatia devine

2t² - 5t + 2 = 0, de unde t₁ = ¹/₂ si t₂ = 2. Cum |t| Ј 1, ramane t = ¹/₂ si prin urmare ecuatia initiala este echivalenta cu ecuatia
sinx = ¹/₂, solutiile careia sunt (a se vedea (3)) 

b) Se noteaza sinx = t si se obtine ecuatia patrata t² - t = 0 cu solutiile t₁ = 0 si t₂ = 1. Astfel ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea de ecuatii

	sin2x = 0,
	sin2x = 1,

de unde

c) Similar exemplelor precedente se obtine ecuatia patrata t² - t + 6 = 0, care nu are solutii. Rezulta ca si ecuatia trigonometrica nu are solutii.

Ecuatiile

acos2x + bcosx + c = 0,

(13)

atg2x + btgx + c = 0,

(14)

actg2x + bctgx + c = 0,

(15)

unde a, b, c О R,   a № 0 se rezolva similar ecuatiei (12).

In cazul ecuatiei (13) se tine seama ca t = cosx in modul urmeaza sa nu intreaca unu, iar pentru t = tgx   (t = ctgx) in ecuatia (14) (respectiv (15)) restrictii nu sunt.

Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile

a) 6cos²x - 5cosx + 1 = 0;     b) tg²2x - 4tg2x + 3 = 0;     c) 

Rezolvare. a) Se noteaza cosx = t si se obtine ecuatia patrata

6t² - 5t + 1 = 0 cu solutiile t = ¹/₃ si t₂ = ¹/₂. Cum ambele solutii verifica conditia |t| Ј 1 se obtine totalitatea

	cosx = 1/3,
	cosx = 1/2,

de unde      

b) Se noteaza tg2x = t si se obtine ecuatia patrata

t² - 4t + 3 = 0 cu solutiile t₁ = 1 si t₂ = 3. Prin urmare

	tg2x = 1,	Ы
	tg2x = 3,			2x = arctg3 + pk,   k О Z,

de unde      

c) Se rezolva similar exemplului precedent si se obtine      x = 2arcctg2 + 2pk,   n,k О Z.

Ecuatia

acos2x + bsinx + c = 0,

(16)

utilizand identitatea trigonometrica de baza sin²x + cos²x = 1, se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (12):

a(1 - sin²x) + bsinx + c = 0. Similar, ecuatia

asin2x + bcosx + c = 0

(17)

se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (13):
a(1 - cos²x) + bcosx + c = 0.

Utilizand formulele

cos2x = 1 - 2sin²x,     cos2x = 2cos²x - 1 ecuatiile

acos2x + bsinx + c = 0,

(18)

acos2x + bcosx + c = 0,

(19)

se reduc la rezolvarea ecuatiilor de tipul (12) si respectiv (13).

Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 2sin²x + 5cosx - 5 = 0;       b) 

Rezolvare. a) Cum sin²x = 1 - cos²x, ecuatia devine

2(1 - cos²x) + 5cosx - 5 = 0 sau
2cos²x - 5cosx + 3 = 0, de unde cosx = ³/₂ (aceasta ecuatie nu are solutii) sau cosx = 1, cu solutiile x = 2pk,   k О Z.

b) Cum cos4x = 1 - 2sin²2x, ecuatia devine

sau
de unde

	sin2x = 0,

si 

Ecuatia

atgx + bctgx + c = 0

(20)

tinand seama ca tgx·ctgx = 1   () prin intermediul substitutiei t = tgx (atunci ctgx =¹/_t) se reduce la o ecuatie trigonometrica de tipul (14).

Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare. Cum  si  ecuatia devine

tgx + 5ctgx - 6 = 0. Se noteaza tgx = t, atunci  si se obtine ecuatia patrata
t² - 6t + 5 = 0 cu solutiile t₁ = 1 si t₂ = 5. Asadar

	tgx = 1,	Ы
	tgx = 5,			x = arctg5 + pn,   n О Z.

Ecuatii omogene

Ecuatia

a0sinnx + a1sinn-1xcosx + ... + ak-1sinxcosn-1x + ancosnx = 0,

(21)

unde a₀·a_n № 0, se numeste ecuatie omogena de gradul n in raport cu sinx si cosx.

Cum  nu verifica ecuatia (21) (toti termenii, incepand cu al doilea sunt nuli, iar primul este diferit de zero) multiplicand ecuatia cu  se obtine ecuatia echivalenta

a₀tgⁿx + a₁tg^n-1x + ... + a_n-1tgx + a_n = 0 care prin substitutia tgx = t, se reduce la rezolvarea unei ecuatii algebrice de gradul n.

Exemplul 9. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x - cos2x = 0;	c) 5sin2x + 5sinxcosx = 3;
b) sin2x + sin2x - 3cos2x = 0;	d)

Rezolvare. a) Ecuatia a) reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai. Se multiplica cu  si se obtine ecuatia liniara in raport cu tg2x

tg2x - 1 = 0 de unde tg2x = 1 si 

b) Cum sin2x = 2sinxcosx ecuatia b) se scrie sin²x + 2sinxcosx - 3cos²x = 0 si reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu  si se obtine ecuatia patrata

tg²x + 2tgx - 3 = 0 cu solutiile tgx = -3 si tgx = 1. Prin urmare

	x = -arctg3 + pn,   n О Z,

c) Se scrie 3 = 3·1 = 3·(sin²x + cos²x) si ecuatia devine

5sin²x + 5sinx·cosx = 3sin²x + 3cos²x sau
2sin²x + 5sinx·cosx - 3cos²x = 0 adica o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se rezolva similar exemplelor precedente si se obtin solutiile x = -arctg3 + pk,   k О Z si 

d) Cum cos2x = cos²x - sin²x, sin2x = 2sinxcosx,  ecuatia devine

sau
adica este o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu  si se obtine ecuatia patrata
cu solutia  sau, rationalizand numitorul, 
Asadar, 

Metoda transformarii sumei functiilor trigonometrice in produs.

Ecuatiile de forma

sina(x) ± sinb(x) = 0

(22)

cosa(x) ± cosb(x) = 0

(23)

cu ajutorul formulelor transformarii sumei in produs

(24)

(25)

(26)

se reduc la ecuatii trigonometrice simple.

Exemplul 10. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin3x + sinx = 0;	c) cos5x = sin3x;
b) cosx + cos3x = 0;	d) sinx + cos2x + sin3x + cos4x = 0.

Rezolvare. a)

sin3x + sinx = 0   Ы     Ы   sin2x = 0, cosx = 0,   Ы

Ы

(se observa ca solutiile  se contin in solutiile  - a se desena cercul trigonometric si a se depune pe el solutiile obtinute).

b) cosx + cos3x = 0   Ы   2cos2xcos(-x) = 0. Cum functia cosinus este o functie para, se obtine totalitatea

	cos2x = 0,
	cosx = 0,

de unde    

c) Cum  (formulele de reducere) se obtine ecuatia

sau
de unde, tinand seama ca functia sinus este impara, iar functia cosinus este para, se obtine totalitatea
sau

d) Se grupeaza convenabil: (sinx + sin3x) + (cos2x + cos4x) = 0, se aplica formulele (24) si (25) si se obtine ecuatia

2sin2xcosx + 2cos3xcosx = 0 sau
2cosx(sin2x + cos3x) = 0, de unde rezulta totalitatea de ecuatii

	cosx = 0,
	sin2x + cos3x = 0.

Din prima ecuatie se obtine  Ecuatia secunda a totalitatii se rezolva similar exemplului c) si se obtine  (se contine in solutia deja obtinuta) si Asadar solutiile ecuatiei initiale sunt    

Metoda transformarii produsului in suma
(utilizarea formulelor sin(a ± b),  cos(a ± b)).

Exemplul 11. Sa se rezolve ecuatiile

a) cosxcos2x - sinxsin2x = 1;         b) cosxcos3x = cos4x.

Rezolvare. a) cosxcos2x - sinxsin2x = 1   Ы   cos(x + 2x) = 1   Ы   cos3x = 1   Ы   3x = 2pk,   k О Z   Ы   

b) Cum  se obtine

sau cos2x - cos4x = 0, de unde rezulta
2sin(-x)sin3x = 0. Ultima ecuatie este echivalenta cu totalitatea

	sinx = 0,
	sin3x = 0,

de unde  (solutiile primei ecuatii se contin in solutiile ecuatiei secunde).

Metoda micsorarii puterii

Aceasta metoda utilizeaza formulele

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

in scopul micsorarii gradului ecuatiei ce urmeaza a fi rezolvate. Formulele (27) si (28) se utilizeaza si la rezolvarea ecuatiilor

sin2ax + sin2bx = sin2cx + sin2dx,

(32)

cos2ax + cos2bx = cos2cx + cos2dx,

(33)

daca numerele a, b, c si d verifica una din conditiile a + b = c + d sau a - b = c - d.

Exemplul 12. Sa se rezolve ecuatiile

a) cos2x + cos22x + cos23x = 3/2;

b) sin42x + cos42x = sin2xcos2x;

c) cos6x + sin6x = cos2x.

Rezolvare. a) Se utilizeaza formula (27) si se obtine ecuatia echivalenta

sau
cos2x + cos4x + cos6x = 0. Se grupeaza convenabil si se obtine
(cos2x + cos6x) + cos4x = 0   Ы   2cos4xcos2x + cos4x = 0   Ы  

Ы   cos4x(2cos2x + 1) = 0   Ы

cos4x = 0, cos2x = -1/2,

Ы

b) Cum (a se vedea (29))  iar  ecuatia devine

sau sin⁴2x + sin4x - 2 = 0, de unde rezulta sin4x = 1 si 

c) Cum  ecuatia devine

de unde rezulta totalitatea

	cos2x = 1,	Ы		x = pn,   n О Z,
	cos2x = 1/3,

Ecuatii de tipul

asinx + bcosx = c,     a·b·c № 0.

(34)

Se propun urmatoarele metode de rezolvare a ecuatiilor de forma (34):

a) Reducerea la o ecuatie omogena de gradul al doilea in raport cu  si 

Se scrie

si ecuatia (34) devine
- omogena de gradul 2 daca (c - b)(b + c) № 0, sau, in caz contrar, se reduce la rezolvarea unei ecuatii omogene de gradul 1 si a unei ecuatii de tipul (2) sau (5).

Exemplul 13. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x + cos2x = 1;       b) 

Rezolvare. a)

sin2x + cos2x = 1   Ы   2sinxcosx + cos2x - sin2x = sin2x + cos2x   Ы

Ы   2sinxcosx - 2sin2x = 0   Ы   2sinx(cosx - sinx) = 0   Ы

Ы   sinx = 0, cosx - sinx = 0, Ы   sinx = 0, tgx = 1,   Ы   x = pk,   k О Z,

b)          
      
         
   

b) Utilizarea formulelor

(35)

Cu ajutorul formulelor indicate, ecuatia (34) se reduce al o ecuatie patrata in raport cu  Se tine seama ca aplicarea acestor formule aduce la pierderea solutiilor a = p + 2pk,   k О Z, din ce cauza se verifica (prin substituirea directa in ecuatia initiala), daca ele sunt sau ba solutii ale ecuatiei (34).

Exemplul 14. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x + cos2x = 1;       b) 

Rezolvare. a) Cum  si cum  nu verifica ecuatia data, ecuatia este echivalenta cu ecuatia

   sau   1 + tg²x = 2tgx + 1 - tg²x, de unde rezulta

tgx = 0, tgx = 1,

Ы

x = pk,   k О Z,

b) Se aplica formulele (35 ) si se obtine

	x № p + 2pk,   k О Z,

sau

	x № p + 2pk,   k О Z,

de unde

	x № p + 2pk,

  si    Verificarea directa arata ca si x = p + 2pk,   k О Z sunt solutii ale ecuatiei date. Asadar solutiile ecuatiei date sunt 

c) Metoda unghiului auxiliar.

Cum a·b·c № 0 ecuatia (34) se scrie

(36)

si cum     si  rezulta ca exista un unghi a, astfel incat

si

(37)

sau un unghi b, astfel incat

si

(38)

Atunci ecuatia (36) se scrie

sau
Ultimile ecuatii nu prezinta greutati in rezolvare.

Nota. Se observa ca ecuatia (34) are solutii daca si numai daca  iar valoarea maxima a functiei f(x) = asinx + bcosx este  si valoarea minima este -.

Exemplul 15. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x + cos2x = 1;       b) 3sinx + 4cosx = 5;       c) 

Rezolvare. a)

sin2x + cos2x = 1   Ы      Ы

Ы      Ы      Ы

Ы      Ы      Ы

Ы   x = pn,   n О Z,

b)

3sinx + 4cosx = 5   Ы     Ы   sinxcosa + cosxsina = 1, sina = 4/5;   cosa = 3/5,	Ы
Ы   sin(x + a) = 1, tga = 4/3,   Ы

c) Cum valoarea maxima a membrului din stanga ecuatiei este  si  rezulta ca ecuatia nu are solutii.

Ecuatii de tipul F(sinx ± cosx, sinxcosx) = 0.

Ecuatiile de asa tip se rezolva cu ajutorul substitutiei 

Exemplul 16. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0;

b) 1 - sin2x = cosx - sinx;

c)

Rezolvare. a) Se noteaza t = sinx + cosx, atunci t² = (sinx + cosx)² = 1 + sin2x, si ecuatia devine 2t + t² = 0, de unde t = 0 sau t = -2. Cum ecuatia sinx + cosx = -2 nu are solutii, ramane sinx + cosx = 0 - ecuatie omogena de gradul intai cu solutiile 

b) Se noteaza cosx - sinx = t, atunci sin2x = 1 - t² si ecuatia devine t² = t cu solutiile t = 0,   t = 1. Asadar

	cosx - sinx = 0,	Ы		1 - tgx = 0,	Ы
	cosx - sinx = 1,

c) DVA al ecuatiei este  In DVA ecuatia se scrie

sinx + cosx - 5sinxcosx + 1 = 0. Se noteaza t = sinx + cosx si se obtine ecuatia patrata
5t² - 2t - 7 = 0, cu solutiile t = -1 si t = ⁷/₅. Prin urmare sinx + cosx = -1, de unde (nu verifica DVA al ecuatiei) sinx + cosx = ⁷/₅, de unde 

Metoda descompunerii in factori

Aceasta metoda este una din cele mai frecvente si presupune o cunoastere satisfacatoare aformulelor trigonometrice.

Exemplul 17. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin3x - cos3x = cos2x;

b) sin3x - sin2x + 2cosx = 2cos2x - sinx;

c) 4sinx + 2cosx = 2 + 3tgx.

Rezolvare. a) sin³x - cos³x = cos2x   Ы   (sinx - cosx)(sin²x + sinxcosx + cos²x) = cos²x - sin²x  Ы   (sinx - cosx)(1 + sinxcosx + (cosx + sinx)) = 0   Ы

Ы

sinx - cosx = 0, 1 + sinxcosx + (cosx + sinx) = 0,

Ы

tgx = 1, t = sinx + cosx,

Ы

Ы

t2 + 2t + 1 = 0, t = sinx + cosx,

Ы

sinx + cosx = -1,

Ы

Ы	x = p + 2pm,   m О Z.

b) Se trec toti termenii in stanga ecuatiei si se grupeaza convenabil:

(sin3x + sinx) + 2cosx - (sin2x + 2cos²x) = 0. Se utilizeaza formulele sumei sinusurilor si sinusului unghiului dublu si se obtine
(2sin2xcosx + 2cosx) - (2sinxcosx + 2cos²x) = 0 sau
2cosx·[(sin2x + 1) - (sinx + cosx)] = 0. Se tine seama ca sin2x + 1 = 2sinxcosx + sin²x + cos²x = (sinx + cosx)² si ecuatia devine
2cosx[(sinx + cosx)² - (sinx + cosx)] = 0 sau
2cosx(sinx + cosx)(sinx + cosx - 1) = 0, de unde se obtine totalitatea

	cosx = 0,
	sinx + cosx = 0,
	sinx + cosx - 1 = 0.

Din prima ecuatie a totalitatii se obtine  Cea secunda reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai cu solutiile  Ecuatia a treia se rezolva, de exemplu, prin metoda introducerii unghiului auxiliar si are solutiile x = 2pn,   n О Z si  Ultimul set de solutii se contine in multimea solutiilor primei ecuatii si prin urmare multimea solutiilor ecuatiei initiale este

c) DVA al ecuatiei este  Ecuatia se scrie

sau
4sinxcosx + 2cos²x - 2cosx - 3sinx = 0. Se grupeaza convenabil:
2cosx(2sinx - 1) + (2cos²x - 3sinx) = 0, sau, cum 2cos²x = 2(1 - sin²x) = 2 - 2sin²x,
2cosx(2sinx - 1) + (2 - 3sinx - 2sin²x) = 0. Cum 2 - 3sinx - 2sin²x = 2 - 4sinx + sinx - 2sin²x = 2(1 - 2sinx) + sinx(1 - 2sinx) = (1 - 2sinx)(2 + sinx), ecuatia devine
2cosx(2sinx - 1) + (1 - 2sinx)(2 + sinx) = 0, sau
(2sinx - 1)(2cosx - sinx - 2) = 0. Cum              ecuatia se scrie
de unde rezulta

sinx = 1/2,   cu solutiile

cu solutiile   x = 2pm,   m О Z,

cu solutiile

Toate solutiile obtinute verifica DVA al ecuatiei.

In incheiere vom prezenta unele metode utile de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice.

Exemplul 18. Sa se rezolve ecuatiile:

a) cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx = n,     n О N,   n і 1;

b) sinx + sin2x + sin3x + ... + sinnx = n,     n О N,  n і 2;

c) sin11x + cos11x = 1;

d) sin10x - cos7x = 1;

e)

f) 3sin2x + 4cos6xcos2x + 2sin10x = 7;

g)

h) 4sin2x - 4sin23xsinx + sin23x = 0;

i)

j) cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16.

Rezolvare. a) Cum pentru orice m natural |cosmx| Ј 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu ndaca si numai daca fiecare termen va fi egal cu unu. Asadar rezulta sistemul

	cosx = 1,
	cos2x = 1,
	...
	cosnx = 1

cu solutiile x = 2pk,   k О Z.

b) Se rezolva similar exemplului a) si se obtine sistemul

	sinx = 1,
	sin2x = 1,
	...
	sinnx = 1,

care este incompatibil. Intr-adevar, solutiile primei ecuatii:  nu verifica a doua ecuatie a sistemului:  Prin urmare ecuatia nu are solutii.

c) Cum sin¹¹x Ј sin²x, cos¹¹x Ј cos²x implica sin¹¹x + cos¹¹x Ј sin²x + cos²x, sau sin¹¹x + cos¹¹xЈ 1, iar in ultima inegalitate semnul egalitatii se atinge daca si numai daca

		sinx = 0,
		cosx = 1,
		sinx = 1,
		cosx = 0.

rezulta ca ecuatia are solutiile x = 2pm,   m О Z (din primul sistem al totalitatii) si  (din sistemul secund).

d) Se utilizeaza acelasi procedeu ca si in exemplul precedent: sin¹⁰x Ј sin²x,   -cos⁷x Ј cos²x, de unde sin¹⁰x - cos⁷x Ј 1 si, prin urmare, semnul egalitatii se atinge cand

	sin10x = sin2x,
	-cos7x = cos2x,

adica sinx О {0;-1;1}, iar cosx О {0;-1}. Asadar se obtine 

e) Cum  |cos2x| Ј 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu minus unu, daca si numai daca

Din  rezulta x = p + 4pn si atunci cos2x = cos(2p + 8pn) = 1 № -1, adica primul sistem al totalitatii este incompatibil. Din  rezulta x = -p + 4pk si atunci cos2(-p + 4pk) = cos2p = 1, deci x = -p + 4pk,   k О Z sunt solutiile sistemului (si ecuatiei enuntate).

f) Cum 3sin2x + 4cos6xcos2x Ј 3sin2x + 4cos2x Ј 5 (a se vedea nota la Metoda unghiului auxiliar), 2sin10x Ј 2 se obtine 3sin2x + 4cos6xcos2x + 2sin10x Ј 7, si semnul egalitatii se atinge doar pentru

|cos6x| = 1, sin10x = 1,

sau

sin6x = 0, sin10x = 1,

de unde
Ultimul sistem este incompatibil. In adevar
conduce la ecuatia in numere intregi
10n = 3 + 6m   sau   10n - 6m = 3 care nu are solutii: diferenta a doua numere pare nu este un numar impar. Prin urmare ecuatia enuntata nu are solutii.

g) Ecuatia se scrie

sau

Membrul din stanga nu intrece doi (   cos2x Ј 1), prin urmare ecuatia are solutii daca si numai daca

cos2x = 1,

sau

x = pn,   n О Z.

Sistemul obtinut (si deci si ecuatia initiala) are solutii daca vor exista asa n, k О Z astfel incat

sau
1 + 4k = 5n de unde 4k = 5n - 1 sau 4k = 4n + (n - 1). Asadar, n - 1 urmeaza a fi divizibil prin 4, adica
n - 1 = 4s,   s О Z de unde n = 4s + 1 si cum 1 + 4k = 5n, adica 4k = 5(4s + 1) - 1 se obtine k = 5s + 1, si
x = p + 4ps,   s О Z.

h) Membrul din stanga ecuatiei se considera trinom patrat in raport cu sinx. Discriminantul acestui trinom este

D = 16sin⁴3x - 16sin²3x, de unde rezulta ca ecuatia enuntata va avea solutii doar pentru sin²3x Ј 0 sau sin²3x і 1. Prin urmare (cum sin²a і 0 si sin²b Ј 1) ecuatia poate avea solutii doar daca sin²3x = 0 sau sin²3x = 1 adica  respectiv 

Se substituie in ecuatie si se obtine

1.  Cum sin²pn = 0, ramane de unde n = 3m,   m О Z, adica din primul set se obtine solutiile x = pm,   m О Z.
2.  Cum  se obtine adica de unde rezulta  sau  adica 

Asadar solutiile ecuatiei date sunt

x = pn,   n О Z,     

i) Se noteaza cos² x = t si ecuatia devine

sau
de unde
|4t - 1| + |4t - 3| = 2.

Se tine seama ca |4t - 3| = |3 - 4t| si 2 = |2| = |4t - 1 + 3 - 4t| si utilizand proprietatile modulului se obtine inecuatia

(4t - 1)(3 - 4t) і 0, de unde
adica  sau  Din ultima inecuatie se obtine (a se vedea tema Inecuatii trigonometrice) solutiile ecuatiei enuntate

j) Cum x = pk,   k О Z nu sunt solutii ale ecuatiei date (cospk = ± 1,   cos2pk = cos4pk = cos8pk= 1) se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu 16sinx si se utilizeaza formula sinusului unghiului dublu

16sinxcosxcos2xcos4xcos8x = sinx,

8sin2xcos2xcos4xcos8x = sinx,

4sin4xcos4xcos8x = sinx,

2sin8xcos8x = sinx,

sin16x = sinx,
sau   sin16x - sinx = 0,      de unde           k№ 15s,   s О Z (deoarece x № pm) si       m О Z,   m № 17s + 8,   sО Z.

Exercitii pentru autoevaluare

Sa se rezolve ecuatiile

1. 2sin²x - 1 = cosx;
2. 7tgx - 4ctgx = 12;
3. tg²x - 3tgx + 2 = 0;
4. 6cos²x + 5cosx + 1 = 0;
5. sin²x - cos²x = cosx;
6. 3cos²x + 4sinxcosx + 5sin²x = 2;
7. 3cos²x - sin²x - 2sinxcosx = 0;
8. 
9. cos3xcos6x = cos5xcos8x;
10. sin²x + sin²2x = sin²3x + sin²4x;
11. ¹/₂(sin⁴x + cos⁴x) = sin²xcos²x + sinxcosx - ¹/₂;
12. cos3x = cosx;
13. sin2x = sinx;
14. sin5x = cos13x;
15. cos²x + 3|cosx| - 4 = 0;
16. 8sin²xcos²x + 4sin2x - 1 = (sinx + cosx)²;
17. 
18. 8cos⁴x = 3 + 5cos⁴x;
19. 
20. 2sin4x - 3sin²2x = 1;
21. 
22. 6cos²x + cos3x = cosx;
23. sin2x + cos2x + sinx + cosx + 1 = 0;
24. tg2x = 4cos²x - ctgx;
25.