duminică, 2 noiembrie 2014

Ecuatii si inecuatii trigonometric

I. Ecuatii trigonometrice
Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice.
Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul
sinx = a,   cosx = a,   tgx = a,   ctgx = a,   a О R.(1)
Cum rezolvarea ecuatiilor trigonometrice se reduce la rezolvarea ecuatiilor de tipul (1) (utilizand diferite transformari), vom aminti afirmatiile de baza referitor solutiile ecuatiilor (1).
Afirmatia 1. Ecuatia
sinx = a,     a О R,(2)
pentru |a| > 1 solutii nu are, iar pentru |aЈ 1 multimea solutiilor ei se contine in formula
x = (-1)narcsina + pn,     n О Z,(3)
unde arcsina О [-[(p)/ 2];[(p)/ 2]] este unghiul, sinusul caruia este egal cu a, iar Z desemneaza multimea numerelor intregi, sau, echivalent (tinand seama de paritatea lui n), in totaliatea
x = arcsina + 2pk,    k О Z.
x = p - arcsina + 2pk,
(4)
Nota 1. Daca in ecuatia (2) a О {0;-1;1} solutiile ei (3) se scriu mai simplu, si anume
sinx = 0   Ы   x = pn,   n О Z,
sinx = 1   Ы   x = p/2 + 2pn,   n О Z,
sinx = -1   Ы   x = -p/2 + 2pn,   n О Z.
Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile
Rezolvare. a) Cum  conform (3) solutiile ecuatiei date sunt
sau tinand seama ca  se obtine
b) Similar exemplului a) se obtine  sau, tinand seama arcsinus ca functia este o functie impara,
c) Cum  rezulta ca ecuatia data nu are solutii.
Afirmatia 2. Ecuatia
cosx = a(5)
pentru |a| > 1 nu are solutii, iar pentru |aЈ 1 multimea solutiilor ei se contine in formula
x = ± arccosa + 2pn,   n О Z,(6)
unde arccosa О [0;p] este unghiul, cosinusul caruia este egal cu a.
Nota 2. Daca in ecuatia (5) a О {0;1;-1} solutiile ei (6) se scriu mai simplu, si anume
cosx = 0   Ы   x = p/2 + pn,   n О Z,
cosx = 1   Ы   x = 2pn,   n О Z,
cosx = -1   Ы   x = p + 2pn,   n О Z.
Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile:
a) cosx = -1/2;     b) cosx = 2/3;     c) 
Rezolvare. a) Cum  conform (6) solutiile ecuatiei date sunt  sau tinand seama ca  se obtine 
b) Similar exemplului a) se obtine 
c) Cum  ecuatia data nu are solutii.
Afirmatia 3. Ecuatia
tgx = a,   a О R(7)
are solutiile
x = arctga + pn,   n О Z,(8)
unde arctga О (-p/2;p/2) este unghiul, tangenta caruia este egala cu a.
Afirmatia 4. Ecuatia
ctgx = a,   a О R(9)
are solutiile
x = arcctga + pn,   n О Z,(10)
unde arcctga О (0;p) este unghiul, cotangenta caruia este egala cu a.
Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile
a) tgx = 1;     b) tgx = -2;     c) ctgx = -1;     d) ctgx = 3.
Rezolvare. a) Conform (8) solutiile ecuatiei date sunt x = arctg1 + pn,   n О Z, sau tinand seama ca  se obtine 
b) Similar exemplului precedent se obtine x = arctg(-2) + pn,   n О Z, sau tinand seama ca arctangenta este o functie impara, x = -arctg2 + pn,   n О Z.
c) Se tine seama de (10) si se obtine
x = arcctg (-1) + pn,   n О Z,
sau, cum    
d) Similar exemplului c) se obtine x = arcctg3 + pn,   n О Z.
Observatie. Ecuatiile
sin f(x) = a,     cos f(x) = a,     tg f(x) = a,     ctg f(x) = a(11)
prin intermediul substitutiei f(x) = t se reduc la rezolvarea ecuatiilor (1).
Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile
a) sin(2x - 1) = 1;     b) cos(x2 + 4) = -1;     c)      d) ctgx3 = -2.
Rezolvare. a)
sin(2x - 1) = 1   Ы  
sint = 1,
t = 2x - 1,
  Ы   2x - 1 = p/2 + 2pn,   n О Z   Ы
Ы   2x = p/2 + 2pn + 1,   n О Z   Ы   x = p/4 + pn + 1/2,   n О Z.
b)
cos(x2 + 4) = -1   Ы  
cost = -1,
t = x2 + 4,
  Ы  
x2 + 4 = p + 2pn,   n О Z,
p + 2pn і 4,
Ы   x2 = p + 2pn - 4,   n = 1,2,3,...   Ы      n = 1,2,3,...
(se tine seama ca radicalul de ordin par exista doar din valori nenegative).
c)    Ы      Ы   2x = p/3 + pn,   n О Z   Ы     
d) ctgx3 = -2   Ы   x3 = arcctg(-2) + pn,   n О Z   Ы   
Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea
Ecuatia
asin2x + bsinx + c = 0,   abc О R,   a  0(12)
prin intermediul substitutiei t = sinx,   (|tЈ 1) se reduce la ecuatia patrata at2 + bt + c = 0.
Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile
a) 2sin2x - 5sinx + 2 = 0;     b) sin22x - sin2x = 0;     c) sin2x - sinx + 6 = 0.
Rezolvare. a) Se noteaza sinx = t si ecuatia devine
2t2 - 5t + 2 = 0,
de unde t1 = 1/2 si t2 = 2. Cum |tЈ 1, ramane t = 1/2 si prin urmare ecuatia initiala este echivalenta cu ecuatia
sinx = 1/2,
solutiile careia sunt (a se vedea (3)) 
b) Se noteaza sinx = t si se obtine ecuatia patrata t2 - t = 0 cu solutiile t1 = 0 si t2 = 1. Astfel ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea de ecuatii
sin2x = 0,
sin2x = 1,
de unde
c) Similar exemplelor precedente se obtine ecuatia patrata t2 - t + 6 = 0, care nu are solutii. Rezulta ca si ecuatia trigonometrica nu are solutii.
Ecuatiile
acos2x + bcosx + c = 0,(13)
atg2x + btgx + c = 0,(14)
actg2x + bctgx + c = 0,(15)
unde abc О R,   a  0 se rezolva similar ecuatiei (12).
In cazul ecuatiei (13) se tine seama ca t = cosx in modul urmeaza sa nu intreaca unu, iar pentru t = tgx   (t = ctgx) in ecuatia (14) (respectiv (15)) restrictii nu sunt.
Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile
a) 6cos2x - 5cosx + 1 = 0;     b) tg22x - 4tg2x + 3 = 0;     c) 
Rezolvare. a) Se noteaza cosx = t si se obtine ecuatia patrata
6t2 - 5t + 1 = 0
cu solutiile t = 1/3 si t2 = 1/2. Cum ambele solutii verifica conditia |tЈ 1 se obtine totalitatea
cosx = 1/3,
cosx = 1/2,
de unde      
b) Se noteaza tg2x = t si se obtine ecuatia patrata
t2 - 4t + 3 = 0
cu solutiile t1 = 1 si t2 = 3. Prin urmare
tg2x = 1,  Ы  
tg2x = 3,2x = arctg3 + pk,   k О Z,
de unde      
c) Se rezolva similar exemplului precedent si se obtine      x = 2arcctg2 + 2pk,   n,k О Z.
Ecuatia
acos2x + bsinx + c = 0,(16)
utilizand identitatea trigonometrica de baza sin2x + cos2x = 1, se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (12):
a(1 - sin2x) + bsinx + c = 0.
Similar, ecuatia
asin2x + bcosx + c = 0(17)
se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (13):
a(1 - cos2x) + bcosx + c = 0.
Utilizand formulele
cos2x = 1 - 2sin2x,     cos2x = 2cos2x - 1
ecuatiile
acos2x + bsinx + c = 0,(18)
acos2x + bcosx + c = 0,(19)
se reduc la rezolvarea ecuatiilor de tipul (12) si respectiv (13).
Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile:
a) 2sin2x + 5cosx - 5 = 0;       b) 
Rezolvare. a) Cum sin2x = 1 - cos2x, ecuatia devine
2(1 - cos2x) + 5cosx - 5 = 0
sau
2cos2x - 5cosx + 3 = 0,
de unde cosx = 3/2 (aceasta ecuatie nu are solutii) sau cosx = 1, cu solutiile x = 2pk,   k О Z.
b) Cum cos4x = 1 - 2sin22x, ecuatia devine
sau
de unde
sin2x = 0,
si 
Ecuatia
atgx + bctgx + c = 0(20)
tinand seama ca tgx·ctgx = 1   () prin intermediul substitutiei t = tgx (atunci ctgx =1/t) se reduce la o ecuatie trigonometrica de tipul (14).
Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatia:
Rezolvare. Cum  si  ecuatia devine
tgx + 5ctgx - 6 = 0.
Se noteaza tgx = t, atunci  si se obtine ecuatia patrata
t2 - 6t + 5 = 0
cu solutiile t1 = 1 si t2 = 5. Asadar
tgx = 1,  Ы  
tgx = 5,x = arctg5 + pn,   n О Z.
Ecuatii omogene
Ecuatia
a0sinnx + a1sinn-1xcosx + ... + ak-1sinxcosn-1x + ancosnx = 0,(21)
unde a0·an  0, se numeste ecuatie omogena de gradul n in raport cu sinx si cosx.
Cum  nu verifica ecuatia (21) (toti termenii, incepand cu al doilea sunt nuli, iar primul este diferit de zero) multiplicand ecuatia cu  se obtine ecuatia echivalenta
a0tgnx + a1tgn-1x + ... + an-1tgx + an = 0
care prin substitutia tgx = t, se reduce la rezolvarea unei ecuatii algebrice de gradul n.
Exemplul 9. Sa se rezolve ecuatiile
a) sin2x - cos2x = 0;c) 5sin2x + 5sinxcosx = 3;
b) sin2x + sin2x - 3cos2x = 0;      d) 
Rezolvare. a) Ecuatia a) reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai. Se multiplica cu  si se obtine ecuatia liniara in raport cu tg2x
tg2x - 1 = 0
de unde tg2x = 1 si 
b) Cum sin2x = 2sinxcosx ecuatia b) se scrie sin2x + 2sinxcosx - 3cos2x = 0 si reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu  si se obtine ecuatia patrata
tg2x + 2tgx - 3 = 0
cu solutiile tgx = -3 si tgx = 1. Prin urmare
x = -arctg3 + pn,   n О Z,
c) Se scrie 3 = 3·1 = 3·(sin2x + cos2x) si ecuatia devine
5sin2x + 5sinx·cosx = 3sin2x + 3cos2x
sau
2sin2x + 5sinx·cosx - 3cos2x = 0
adica o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se rezolva similar exemplelor precedente si se obtin solutiile x = -arctg3 + pk,   k О Z si 
d) Cum cos2x = cos2x - sin2x, sin2x = 2sinxcosx ecuatia devine
sau
adica este o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu  si se obtine ecuatia patrata
cu solutia  sau, rationalizand numitorul, 
Asadar, 
Metoda transformarii sumei functiilor trigonometrice in produs.
Ecuatiile de forma
sina(x± sinb(x) = 0(22)
cosa(x± cosb(x) = 0(23)
cu ajutorul formulelor transformarii sumei in produs
(24)
(25)
(26)
se reduc la ecuatii trigonometrice simple.
Exemplul 10. Sa se rezolve ecuatiile
a) sin3x + sinx = 0;      c) cos5x = sin3x;
b) cosx + cos3x = 0;d) sinx + cos2x + sin3x + cos4x = 0.
Rezolvare. a)
sin3x + sinx = 0   Ы    Ы  
sin2x = 0,
cosx = 0,
  Ы
  Ы  
(se observa ca solutiile  se contin in solutiile  - a se desena cercul trigonometric si a se depune pe el solutiile obtinute).
b) cosx + cos3x = 0   Ы   2cos2xcos(-x) = 0. Cum functia cosinus este o functie para, se obtine totalitatea
cos2x = 0,
cosx = 0,
de unde    
c) Cum  (formulele de reducere) se obtine ecuatia
sau
de unde, tinand seama ca functia sinus este impara, iar functia cosinus este para, se obtine totalitatea
sau
d) Se grupeaza convenabil: (sinx + sin3x) + (cos2x + cos4x) = 0, se aplica formulele (24) si (25) si se obtine ecuatia
2sin2xcosx + 2cos3xcosx = 0
sau
2cosx(sin2x + cos3x) = 0,
de unde rezulta totalitatea de ecuatii
cosx = 0,
sin2x + cos3x = 0.
Din prima ecuatie se obtine  Ecuatia secunda a totalitatii se rezolva similar exemplului c) si se obtine  (se contine in solutia deja obtinuta) si Asadar solutiile ecuatiei initiale sunt    
Metoda transformarii produsului in suma
(utilizarea formulelor sin(a ± b),  cos(a ± b)).
Exemplul 11. Sa se rezolve ecuatiile
a) cosxcos2x - sinxsin2x = 1;         b) cosxcos3x = cos4x.
Rezolvare. a) cosxcos2x - sinxsin2x = 1   Ы   cos(x + 2x) = 1   Ы   cos3x = 1   Ы   3x = 2pk,   k О Z   Ы   
b) Cum  se obtine
sau cos2x - cos4x = 0, de unde rezulta
2sin(-x)sin3x = 0.
Ultima ecuatie este echivalenta cu totalitatea
sinx = 0,
sin3x = 0,
de unde  (solutiile primei ecuatii se contin in solutiile ecuatiei secunde).
Metoda micsorarii puterii
Aceasta metoda utilizeaza formulele
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
in scopul micsorarii gradului ecuatiei ce urmeaza a fi rezolvate. Formulele (27) si (28) se utilizeaza si la rezolvarea ecuatiilor
sin2ax + sin2bx = sin2cx + sin2dx,(32)
cos2ax + cos2bx = cos2cx + cos2dx,(33)
daca numerele abc si d verifica una din conditiile a + b = c + d sau a - b = c - d.
Exemplul 12. Sa se rezolve ecuatiile
a) cos2x + cos22x + cos23x = 3/2;
b) sin42x + cos42x = sin2xcos2x;
c) cos6x + sin6x = cos2x.
Rezolvare. a) Se utilizeaza formula (27) si se obtine ecuatia echivalenta
sau
cos2x + cos4x + cos6x = 0.
Se grupeaza convenabil si se obtine
(cos2x + cos6x) + cos4x = 0   Ы   2cos4xcos2x + cos4x = 0   Ы  
Ы   cos4x(2cos2x + 1) = 0   Ы  
cos4x = 0,
cos2x = -1/2,
  Ы  
b) Cum (a se vedea (29))  iar  ecuatia devine
sau sin42x + sin4x - 2 = 0, de unde rezulta sin4x = 1 si 
c) Cum  ecuatia devine
de unde rezulta totalitatea
cos2x = 1,  Ы  x = pn,   n О Z,
cos2x = 1/3,
Ecuatii de tipul
asinx + bcosx = c,     a·b·c  0.(34)
Se propun urmatoarele metode de rezolvare a ecuatiilor de forma (34):
a) Reducerea la o ecuatie omogena de gradul al doilea in raport cu  si 
Se scrie
si ecuatia (34) devine
- omogena de gradul 2 daca (c - b)(b + c 0, sau, in caz contrar, se reduce la rezolvarea unei ecuatii omogene de gradul 1 si a unei ecuatii de tipul (2) sau (5).
Exemplul 13. Sa se rezolve ecuatiile
a) sin2x + cos2x = 1;       b) 
Rezolvare. a)
sin2x + cos2x = 1   Ы   2sinxcosx + cos2x - sin2x = sin2x + cos2x   Ы
Ы   2sinxcosx - 2sin2x = 0   Ы   2sinx(cosx - sinx) = 0   Ы  
Ы  
sinx = 0,
cosx - sinx = 0,
Ы  
sinx = 0,
tgx = 1,
  Ы  
x = pk,   k О Z,
b)          
      
         
   
b) Utilizarea formulelor
(35)
Cu ajutorul formulelor indicate, ecuatia (34) se reduce al o ecuatie patrata in raport cu  Se tine seama ca aplicarea acestor formule aduce la pierderea solutiilor a = p + 2pk,   k О Z, din ce cauza se verifica (prin substituirea directa in ecuatia initiala), daca ele sunt sau ba solutii ale ecuatiei (34).
Exemplul 14. Sa se rezolve ecuatiile
a) sin2x + cos2x = 1;       b) 
Rezolvare. a) Cum  si cum  nu verifica ecuatia data, ecuatia este echivalenta cu ecuatia
   sau   1 + tg2x = 2tgx + 1 - tg2x,
de unde rezulta
tgx = 0,
tgx = 1,
  Ы  
x = pk,   k О Z,
b) Se aplica formulele (35 ) si se obtine
x  p + 2pk,   k О Z,
sau
x  p + 2pk,   k О Z,
de unde
x  p + 2pk,
  si    Verificarea directa arata ca si x = p + 2pk,   k О Z sunt solutii ale ecuatiei date. Asadar solutiile ecuatiei date sunt 
c) Metoda unghiului auxiliar.
Cum a·b·c  0 ecuatia (34) se scrie
(36)
si cum     si  rezulta ca exista un unghi a, astfel incat
   si   (37)
sau un unghi b, astfel incat
   si   (38)
Atunci ecuatia (36) se scrie
sau
Ultimile ecuatii nu prezinta greutati in rezolvare.
Nota. Se observa ca ecuatia (34) are solutii daca si numai daca  iar valoarea maxima a functiei f(x) = asinx + bcosx este  si valoarea minima este -.
Exemplul 15. Sa se rezolve ecuatiile
a) sin2x + cos2x = 1;       b) 3sinx + 4cosx = 5;       c) 
Rezolvare. a)
sin2x + cos2x = 1   Ы      Ы 
Ы      Ы      Ы
Ы      Ы      Ы
Ы  x = pn,   n О Z,
b)
3sinx + 4cosx = 5   Ы    Ы  
sinxcosa + cosxsina = 1,
sina = 4/5;   cosa = 3/5,
  Ы
Ы  
sin(x + a) = 1,
tga = 4/3,
  Ы  
c) Cum valoarea maxima a membrului din stanga ecuatiei este  si  rezulta ca ecuatia nu are solutii.
Ecuatii de tipul F(sinx ± cosx, sinxcosx) = 0.
Ecuatiile de asa tip se rezolva cu ajutorul substitutiei 
Exemplul 16. Sa se rezolve ecuatiile:
a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0;
b) 1 - sin2x = cosx - sinx;
c) 
Rezolvare. a) Se noteaza t = sinx + cosx, atunci t2 = (sinx + cosx)2 = 1 + sin2x, si ecuatia devine 2t + t2 = 0, de unde t = 0 sau t = -2. Cum ecuatia sinx + cosx = -2 nu are solutii, ramane sinx + cosx = 0 - ecuatie omogena de gradul intai cu solutiile 
b) Se noteaza cosx - sinx = t, atunci sin2x = 1 - t2 si ecuatia devine t2 = t cu solutiile t = 0,   t = 1. Asadar
cosx - sinx = 0,  Ы  1 - tgx = 0,  Ы  
cosx - sinx = 1,
c) DVA al ecuatiei este  In DVA ecuatia se scrie
sinx + cosx - 5sinxcosx + 1 = 0.
Se noteaza t = sinx + cosx si se obtine ecuatia patrata
5t2 - 2t - 7 = 0,
cu solutiile t = -1 si t = 7/5. Prin urmare sinx + cosx = -1, de unde (nu verifica DVA al ecuatiei) sinx + cosx = 7/5, de unde 
Metoda descompunerii in factori
Aceasta metoda este una din cele mai frecvente si presupune o cunoastere satisfacatoare aformulelor trigonometrice.
Exemplul 17. Sa se rezolve ecuatiile
a) sin3x - cos3x = cos2x;
b) sin3x - sin2x + 2cosx = 2cos2x - sinx;
c) 4sinx + 2cosx = 2 + 3tgx.
Rezolvare. a) sin3x - cos3x = cos2x   Ы   (sinx - cosx)(sin2x + sinxcosx + cos2x) = cos2x - sin2x  Ы   (sinx - cosx)(1 + sinxcosx + (cosx + sinx)) = 0   Ы
Ы  
sinx - cosx = 0,
1 + sinxcosx + (cosx + sinx) = 0,
  Ы  
tgx = 1,
t = sinx + cosx,
  Ы
Ы  
t2 + 2t + 1 = 0,
t = sinx + cosx,
  Ы  
sinx + cosx = -1,
  Ы
Ы  
x = p + 2pm,   m О Z.
b) Se trec toti termenii in stanga ecuatiei si se grupeaza convenabil:
(sin3x + sinx) + 2cosx - (sin2x + 2cos2x) = 0.
Se utilizeaza formulele sumei sinusurilor si sinusului unghiului dublu si se obtine
(2sin2xcosx + 2cosx) - (2sinxcosx + 2cos2x) = 0
sau
2cosx·[(sin2x + 1) - (sinx + cosx)] = 0.
Se tine seama ca sin2x + 1 = 2sinxcosx + sin2x + cos2x = (sinx + cosx)2 si ecuatia devine
2cosx[(sinx + cosx)2 - (sinx + cosx)] = 0
sau
2cosx(sinx + cosx)(sinx + cosx - 1) = 0,
de unde se obtine totalitatea
cosx = 0,
sinx + cosx = 0,
sinx + cosx - 1 = 0.
Din prima ecuatie a totalitatii se obtine  Cea secunda reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai cu solutiile  Ecuatia a treia se rezolva, de exemplu, prin metoda introducerii unghiului auxiliar si are solutiile x = 2pn,   n О Z si  Ultimul set de solutii se contine in multimea solutiilor primei ecuatii si prin urmare multimea solutiilor ecuatiei initiale este
c) DVA al ecuatiei este  Ecuatia se scrie
sau
4sinxcosx + 2cos2x - 2cosx - 3sinx = 0.
Se grupeaza convenabil:
2cosx(2sinx - 1) + (2cos2x - 3sinx) = 0,
sau, cum 2cos2x = 2(1 - sin2x) = 2 - 2sin2x,
2cosx(2sinx - 1) + (2 - 3sinx - 2sin2x) = 0.
Cum 2 - 3sinx - 2sin2x = 2 - 4sinx + sinx - 2sin2x = 2(1 - 2sinx) + sinx(1 - 2sinx) = (1 - 2sinx)(2 + sinx), ecuatia devine
2cosx(2sinx - 1) + (1 - 2sinx)(2 + sinx) = 0,
sau
(2sinx - 1)(2cosx - sinx - 2) = 0.
Cum              ecuatia se scrie
de unde rezulta
sinx = 1/2,   cu solutiile   
   cu solutiile   x = 2pm,   m О Z,
   cu solutiile   
Toate solutiile obtinute verifica DVA al ecuatiei.
In incheiere vom prezenta unele metode utile de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice.
Exemplul 18. Sa se rezolve ecuatiile:
a) cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx = n,     n О N,   n і 1;
b) sinx + sin2x + sin3x + ... + sinnx = n,     n О N,  n і 2;
c) sin11x + cos11x = 1;
d) sin10x - cos7x = 1;
e) 
f) 3sin2x + 4cos6xcos2x + 2sin10x = 7;
g) 
h) 4sin2x - 4sin23xsinx + sin23x = 0;
i) 
j) cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16.
Rezolvare. a) Cum pentru orice m natural |cosmxЈ 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu ndaca si numai daca fiecare termen va fi egal cu unu. Asadar rezulta sistemul
cosx = 1,
cos2x = 1,
...
cosnx = 1
cu solutiile x = 2pk,   k О Z.
b) Se rezolva similar exemplului a) si se obtine sistemul
sinx = 1,
sin2x = 1,
...
sinnx = 1,
care este incompatibil. Intr-adevar, solutiile primei ecuatii:  nu verifica a doua ecuatie a sistemului:  Prin urmare ecuatia nu are solutii.
c) Cum sin11x Ј sin2x, cos11x Ј cos2x implica sin11x + cos11x Ј sin2x + cos2x, sau sin11x + cos11xЈ 1, iar in ultima inegalitate semnul egalitatii se atinge daca si numai daca
sinx = 0,
cosx = 1,
sinx = 1,
cosx = 0.
rezulta ca ecuatia are solutiile x = 2pm,   m О Z (din primul sistem al totalitatii) si  (din sistemul secund).
d) Se utilizeaza acelasi procedeu ca si in exemplul precedent: sin10x Ј sin2x,   -cos7x Ј cos2x, de unde sin10x - cos7x Ј 1 si, prin urmare, semnul egalitatii se atinge cand
sin10x = sin2x,
-cos7x = cos2x,
adica sinx О {0;-1;1}, iar cosx О {0;-1}. Asadar se obtine 
e) Cum  |cos2xЈ 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu minus unu, daca si numai daca
Din  rezulta x = p + 4pn si atunci cos2x = cos(2p + 8pn) = 1  -1, adica primul sistem al totalitatii este incompatibil. Din  rezulta x = -p + 4pk si atunci cos2(-p + 4pk) = cos2p = 1, deci x = -p + 4pk,   k О Z sunt solutiile sistemului (si ecuatiei enuntate).
f) Cum 3sin2x + 4cos6xcos2x Ј 3sin2x + 4cos2x Ј 5 (a se vedea nota la Metoda unghiului auxiliar), 2sin10x Ј 2 se obtine 3sin2x + 4cos6xcos2x + 2sin10x Ј 7, si semnul egalitatii se atinge doar pentru
|cos6x| = 1,
sin10x = 1,
  sau  
sin6x = 0,
sin10x = 1,
de unde
Ultimul sistem este incompatibil. In adevar
conduce la ecuatia in numere intregi
10n = 3 + 6m   sau   10n - 6m = 3
care nu are solutii: diferenta a doua numere pare nu este un numar impar. Prin urmare ecuatia enuntata nu are solutii.
g) Ecuatia se scrie
sau
Membrul din stanga nu intrece doi (   cos2x Ј 1), prin urmare ecuatia are solutii daca si numai daca
cos2x = 1,
  sau  
x = pn,   n О Z.
Sistemul obtinut (si deci si ecuatia initiala) are solutii daca vor exista asa nk О Z astfel incat
sau
1 + 4k = 5n
de unde 4k = 5n - 1 sau 4k = 4n + (n - 1). Asadar, n - 1 urmeaza a fi divizibil prin 4, adica
n - 1 = 4s,   s О Z
de unde n = 4s + 1 si cum 1 + 4k = 5n, adica 4k = 5(4s + 1) - 1 se obtine k = 5s + 1, si
x = p + 4ps,   s О Z.
h) Membrul din stanga ecuatiei se considera trinom patrat in raport cu sinx. Discriminantul acestui trinom este
D = 16sin43x - 16sin23x,
de unde rezulta ca ecuatia enuntata va avea solutii doar pentru sin23x Ј 0 sau sin23x і 1. Prin urmare (cum sin2a і 0 si sin2b Ј 1) ecuatia poate avea solutii doar daca sin23x = 0 sau sin23x = 1 adica  respectiv 
Se substituie in ecuatie si se obtine

  1.  Cum sin2pn = 0, ramane de unde n = 3m,   m О Z, adica din primul set se obtine solutiile x = pm,   m О Z.
  2.  Cum  se obtine
    adica
    de unde rezulta  sau  adica 
Asadar solutiile ecuatiei date sunt
x = pn,   n О Z,     
i) Se noteaza cos2 x = t si ecuatia devine
sau
de unde
|4t - 1| + |4t - 3| = 2.
Se tine seama ca |4t - 3| = |3 - 4t| si 2 = |2| = |4t - 1 + 3 - 4t| si utilizand proprietatile modulului se obtine inecuatia
(4t - 1)(3 - 4tі 0,
de unde
adica  sau  Din ultima inecuatie se obtine (a se vedea tema Inecuatii trigonometrice) solutiile ecuatiei enuntate
j) Cum x = pk,   k О Z nu sunt solutii ale ecuatiei date (cospk = ± 1,   cos2pk = cos4pk = cos8pk= 1) se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu 16sinx si se utilizeaza formula sinusului unghiului dublu
16sinxcosxcos2xcos4xcos8x = sinx,
8sin2xcos2xcos4xcos8x = sinx,
4sin4xcos4xcos8x = sinx,
2sin8xcos8x = sinx,
sin16x = sinx,

sau   sin16x - sinx = 0,      de unde           k 15s,   s О Z (deoarece x  pm) si       m О Z,   m  17s + 8,   sО Z.
Exercitii pentru autoevaluare
Sa se rezolve ecuatiile

  1. 2sin2x - 1 = cosx;
  2. 7tgx - 4ctgx = 12;
  3. tg2x - 3tgx + 2 = 0;
  4. 6cos2x + 5cosx + 1 = 0;
  5. sin2x - cos2x = cosx;
  6. 3cos2x + 4sinxcosx + 5sin2x = 2;
  7. 3cos2x - sin2x - 2sinxcosx = 0;
  8. cos3xcos6x = cos5xcos8x;
  9. sin2x + sin22x = sin23x + sin24x;
  10. 1/2(sin4x + cos4x) = sin2xcos2x + sinxcosx - 1/2;
  11. cos3x = cosx;
  12. sin2x = sinx;
  13. sin5x = cos13x;
  14. cos2x + 3|cosx| - 4 = 0;
  15. 8sin2xcos2x + 4sin2x - 1 = (sinx + cosx)2;
  16. 8cos4x = 3 + 5cos4x;
  17. 2sin4x - 3sin22x = 1;
  18. 6cos2x + cos3x = cosx;
  19. sin2x + cos2x + sinx + cosx + 1 = 0;
  20. tg2x = 4cos2x - ctgx;

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